2016-04-09 12:19:20 公务员考试 https://fj.huatu.com/gwy/ 文章来源:莆田人事人才网
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错位重排问题是伯努利和欧拉在错装信封时发现的,因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。表述为:编号是1、2、…、n的n封信,装入编号为1、2、…、n的n个信封,要求每封信和信封的编号不同,问有多少种装法?
【解析】假设用Dn来表示n封信进行错位重排的方法数,我们不难得出以下结论:
(1) n=1, D1=0;1封信是不能进行错位重排的;
(2) n=2,D2=1;2封信的时候只能相互对调只有1种方法;
(3) n=3,D3=2×(D1+D2)=2×(0+1)=2;
(4) n=4,D4=3×(D2+D3)=3×(1+2)=9;
(5) n=5,D5=4×(D3+D4)=4×(2+9)=44;
(6) n=6,D6=5×(D4+D5)=5×(9+44)=265;
(7) n=n,Dn=(n-1)×(Dn-2+Dn-1);
对于封信只要不装在1号信封即可,因此有n-1种装法,剩下的还有n-1封信没有装信封,其有两种情况。
种情况:假设封信装进2号信封,第二封信装进1号信封,则此时剩下n-2封信件,这些信件再进行错位重排有Dn-2种方法;第二种情况:假设封信装进2号信封,这时候将其拿出,那后剩余n-1封信,满足编号2不放1号信封、3号不放2号信封,则变成n-1封信的错位重排,因此有Dn-1种装法。我们都知道排列组合是建立在分类分步思想之下的,因此n封信件的错位重排就是Dn=(n-1)×(Dn-2+Dn-1)。
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