【数学运算-几个“至少”】：
在数学运算的题目中，经常会在后的问题中出现“至少”这个词，典型的有三种问法：至少……才能保证、至少有一个……、至少两(三)者都……。对于这样的三种典型问法，我们也有相应的解决方法。
问法一：至少……才能保证
点拨：这样的问法，是不利原则的问法，当在题目中看到这样的问法的时候，就要想到该题目需要用不利原则来解题，这样就能做到有针对性的去解决问题。
例题一：某单位选举工会主席，每人投票从甲、乙、丙三个候选人中选择一人。已知该单位共有52人，并且在计票过程中的某时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票。如果得票比其他两人都多的候选人将成为工会主席，那么甲少再得到多少票就能够保证当选?
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：还剩下52-17-16-11=8张票，甲如果要确保当选，考虑差情况，则剩下的票丙一票不拿，那么只有甲、乙分配剩下的票，因此甲至少要拿8÷2=4张才能保证当选。
问法二：至少有一个……
点拨：这样的问法一般出现在概率问题中，当遇到这样的问题时，从问题的正面去考虑可能会比较复杂或情况种类过多不便于计算，那么我们就需要有一种逆向的思维，把问题从它的对立面去考虑，即问“至少有一个……”，我们先去考虑它的对立面，“一个没有……”，然后再通过运算找到后的结果。从而达到简便解题的目的。
例题二：某个完整产品由三个部件组成，假设生产、二、三个部件的不合格率分别为：0.08、0.1、0.2，则这三个部件至少有一个合格的概率是：
A.0.899 B.0.988 C.0.984 D.0.9984
解析：该问题如果从正面考虑，会发现要考虑三种情况，即一个不合格的，两个不合格及三个都不合格的，而对于每一种情况，我们又要详细考虑具体是哪个或哪两个是不合格的，计算起来就会非常繁琐。因此就要从对立面考虑，其解析就是：3个部件都不合格的概率为：0.08×0.1×0.2=0.0016，因此三个部件至少有一个合格的概率是1-0.0016=0.9984。
点拨：“至少有一个……”这样的话，有时候也会出现在题干中，这种情况一般会出现在排列组合的问题中。
例题三：从15名学生中选出5名参加比赛，其中甲和乙至少有一人要被选上，请问有多少种选法?
A.3003 B.1716 C.1287 D.154440
解析：这种题目，我们也可以从其对立面出发考虑问题，即从15人中任选5人，然后减去去除甲乙后的13人中任选5人的情况，结果就是甲乙至少有一个被选上的情况，列式就是 。
点拨：总结起来就是，在题干或者问法中看到“至少有一个……”的时候，都可以考虑从对立面去考虑问题，来实现问题的简单化。
问法三：至少两(三)者都……
点拨：这样的问法，会出现在容斥问题的题目中，它属于容斥极值问题的问法，对于这样的问法，其解答的方法就是公式法：
至少两者都…… 至少三者都…… 以此类推。
例题四：公司某部门80%的员工有本科以上学历，70%有销售经验，60%在生产一线工作过，该部门既有本科以上学历，又有销售经历，还在生产一线工作过的员工至少占员工总数的：
A.20% B.15% C.10% D.5%
由公式我们可以知道，结果就是80%+70%+60%-2=10%。
以上就是给大家总结的在数学运算中会遇到的几个典型的“至少”，大家可以根据这样的特点，去判断用什么样的方法去解决相应的问题，去更好的备考数学运算部分。
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